当然，近两年回去，公交早就换成了无人售票和统一计费——不管

    多远都是一个价，车费也早就今非昔比了。

    让我们假设有一班巴士从a站出发，经过bcd三站到达e这个终点站。这个车的收费沿用了

    我们怀旧时代的老传统，不是上车一律给2块钱，而是根据起点和终点来单独计费。我们

    不妨订一个收费标准：a站和b站之间是1块钱，b和c靠得比较近，0.5元。c和d之间还是1

    块钱，而d和e离得远，2块钱。这样一来车费就容易计算了，比如我从b站上车到e站，那

    么我就应该给0.5 1 2=3.5元作为车费。反过来，如果我从d站上车到a站，那么道理是一

    样的：1 0.5 1=2.5块钱。

    现在玻尔和海森堡分别被叫来写一个关于车费的说明贴在车子里让人参考。玻尔欣然同意

    了，他说：这个问题很简单，车费问题实际上就是两个站之间的距离问题，我们只要把每

    一个站的位置状况写出来，那么乘客们就能够一目了然了。于是他就假设，a站的坐标是0

    ，从而推出：b站的坐标是1，c站的坐标是1.5，d站的坐标是2.5，而e站的坐标是4.5。这

    就行了，玻尔说，车费就是起点站的坐标减掉终点站的坐标的绝对值，我们的“坐标”，

    实际上可以看成一种“车费能级”，所有的情况都完全可以包含在下面这个表格里：

    站点 坐标（车费能级）

    a 0

    b 1

    c 1.5

    d 2.5

    e 4.5

    这便是一种经典的解法，每一个车站都被假设具有某种绝对的“车费能级”，就像原子中

    电子的每个轨道都被假设具有某种特定的能级一样。所有的车费，不管是从哪个站到哪个

    站，都可以用这个单一的变量来解决，这是一个一维的传统表格，完全可以表达为一个普

    通的公式。这也是所有物理问题的传统解法。

    现在，海森堡说话了。不对，海森堡争辩说，这个思路有一个根本性的错误，那就是，作

    为一个乘客来说，他完全无法意识，也根本不可能观察到某个车站的“绝对坐标”是什么

    。比如我从c站乘车到d站，无论怎么样我也无法观察到“c站的坐标是1.5”，或者“d站

    的坐标是2.5”这个结论。作为我——乘客来说，我所能唯一观察和体会到的，就是“从c

    站到达d站要花1块钱”，这才是最确凿，最坚实的东西。我们的车费规则，只能以这样的

    事实为基础，而不是不可观察的所谓“坐标”，或者“能级”。

    那么，怎样才能仅仅从这些可以观察的事实上去建立我们的车费规则呢？海森堡说，传统

    的那个一维表格已经不适用了，我们需要一种新类型的表格，像下面这样的：

    a b c d e

    a 0 1 1.5 2.5 4.5

    b 1 0 0.5 1.5 3.5

    c 1.5 0.5 0 1 3

    d 2.5 1.5 1 0 2

    e 4.5 3.5 3 2 0

    这里面，竖的是起点站，横的是终点站。现在这张表格里的每一个数字都是实实在在可以

    观测和检验的了。比如第一行第三列的那个1.5，它的横坐标是a，表明从a站出发。它的

    纵坐标是c，表明到c站下车。那么，只要某个乘客真正从a站坐到了c站，他就可以证实这

    个数字是正确的：这个旅途的确需要1.5块车费。

    好吧，某些读者可能已经不耐烦了，它们的确是两种不同类型的东西，可是，这种区别的

    意义有那么大吗？毕竟，它们表达的，不是同一种收费规则吗？但事情要比我们想象的复

    杂多了，比如玻尔的表格之所以那么简洁，其实是有这样一个假设，那就是“从a到b”和

    “从b到a”，所需的钱是一样的。事实也许并非如此，从a到b要1块钱，从b回到a却很可

    能要1.5元。这样玻尔的传统方式要大大头痛了，而海森堡的表格却是简洁明了的：只要

    修改b为横坐标a为纵坐标的那个数字就可以了，只不过表格不再按照对角线对称了而已。

    更关键的是，海森堡争辩说，所有的物理规则，也要按照这种表格的方式来改写。我们已

    经有了经典的动力学方程，现在，我们必须全部把它们按照量子的方式改写成某种表格方

    程。许多传统的物理变量，现在都要看成是一些独立的矩阵来处理。

    在经典力学中，一个周期性的振动可以用数学方法分解成为一系列简谐振动的叠加，这个

    方法叫做傅里叶展开。想象一下我们的耳朵，它可以灵敏地分辨出各种不同的声音，即使

    这些声音同时响起，混成一片嘈杂也无关紧要，一个发烧友甚至可以分辨出cd音乐中乐手

    翻动乐谱的细微沙沙声。人耳自然是很神奇的，但是从本质上说，数学家也可以做到这一

    切，方法就是通过傅立叶分析把一个混合的音波分解成一系列的简谐波。大家可能要感叹

    ，人耳竟然能够在瞬间完成这样复杂的数学分析，不过这其实是自然的进化而已。譬如守

    门员抱住飞来的足球，从数学上说相当于解析了一大堆重力和空气动力学的微分方程并求

    出了球的轨迹，再比如人本能的趋利避害的反应，从基因的角度说也相当于进行了无数风

    险概率和未来获利的计算。但这都只是因为进化的力量使得生物体趋于具有这样的能力而

    已，这能力有利于自然选择，倒不是什么特殊的数学能力所导致。

    回到正题，在玻尔和索末菲的旧原子模型里，我们已经有了电子运动方程和量子化条件。

    这个运动同样可以利用傅立叶分析的手法，化作一系列简谐运动的叠加。在这个展开式里

    的每一项，都代表了一个特定频率。现在，海森堡准备对这个旧方程进行手术，把它彻底

    地改造成最新的矩阵版本。但是困难来了，我们现在有一个变量p，代表电子的动量，还

    有一个变量q，代表电子的位置。本来，在老方程里这两个变量应当乘起来，现在海森堡

    把p和q都变成了矩阵，那么，现在p和q应当如何再乘起来呢？

    这个问题问得好：你如何把两个“表格”乘起来呢？

    或者我们不妨先问自己这样一个问题：把两个表格乘起来，这代表了什么意义呢？

    为了容易理解，我们还是回到我们那个巴士车费的比喻。现在假设我们手里有两张海森堡

    制定的车费表：矩阵i和矩阵ii，分别代表了巴士i号线和巴士ii号线在某地的收费情况。

    为了简单起见，我们假设每条线都只有两个站，a和b。这两个表如下：

    i号线（矩阵i）：

    a b

    a 1 2

    b 3 1

    ii号线（矩阵ii）：

    a b

    a 1 3

    b 4 1

    好，我们再来回顾一下这两张表到底代表了什么意思。根据海森堡的规则，数字的横坐标

    代表了起点站，纵坐标代表了终点站。那么矩阵i第一行第一列的那个1就是说，你坐巴士

    i号线，从a地出发，在a地原地下车，车费要1块钱（啊？为什么原地不动也要付1块钱呢

    ？这个……一方面是比喻而已，再说你可以把1块钱看成某种起步费。何况在大部分城市

    的地铁里，你进去又马上出来，的确是要在电子卡里扣掉一点钱的）。同样，矩阵i第一

    行第二列的那个2是说，你坐i号线从a地到b地，需要2块钱。但是，如果从b地回到a地，

    那么就要看横坐标是b而纵坐标是a的那个数字，也就是第二行第一列的那个3。矩阵ii的

    情况同样如此。

    好，现在我们来做个小学生水平的数学练习：乘法运算。只不过这次乘的不是普通的数字

    ，而是两张表格：i和ii。ixii等于几？

    让我们把习题完整地写出来。现在，boys and girls，这道题目的答案是什么呢？

    ┏ ┓ ┏ ┓

    ┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃

    ┃ 3 1 ┃ x ┃ 4 1 ┃ ＝ ？

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    饭后闲话：男孩物理学

    1925年，当海森堡做出他那突破性的贡献的时候，他刚刚24岁。尽管在物理上有着极为惊

    人的天才，但海森堡在别的方面无疑还只是一个稚气未脱的大孩子。他兴致勃勃地跟着青

    年团去各地旅行，在哥本哈根逗留期间，他抽空去巴伐利亚滑雪，结果摔伤了膝盖，躺了

    好几个礼拜。在山谷田野间畅游的时候，他高兴得不能自已，甚至说“我连一秒种的物理

    都不愿想了”。

    量子论的发展几乎就是年轻人的天下。爱因斯坦1905年提出光量子假说的时候，也才26岁

    。玻尔1913年提出他的原子结构的时候，28岁。德布罗意1923年提出相波的时候，31岁。

    而1925年，当量子力学在海森堡的手里得到突破的时候，后来在历史上闪闪发光的那些主

    要人物也几乎都和海森堡一样年轻：泡利25岁，狄拉克23岁，乌仑贝克25岁，古德施密特

    23岁，约尔当23岁。

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