和他们比起来，36岁的薛定谔和43岁的波恩简直算是老爷爷了。量子
力学被人们戏称为“男孩物理学”，波恩在哥廷根的理论班，也被人叫做“波恩幼儿园”
。
不过，这只说明量子论的锐气和朝气。在那个神话般的年代，象征了科学永远不知畏惧的
前进步伐，开创出一个前所未有的大时代来。“男孩物理学”这个带有传奇色彩的名词，
也将在物理史上镌刻出永恒的光芒。
上帝掷骰子吗——量子物理史话（5-3）
版权所有：castor_v_pollux 原作 提交时间：2003-10-12 06:55:16
第五章 曙光
三
上次我们布置了一道练习题，现在我们一起来把它的答案求出来。
┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃
┃ 3 1 ┃ x ┃ 4 1 ┃ ＝ ？
┗ ┛ ┗ ┛
如果你还记得我们那个公共巴士的比喻，那么乘号左边的矩阵i代表了我们的巴士i号线的
收费表，乘号右边的矩阵ii代表了ii号线的收费表。i是一个2x2的表格，ii也是一个2x
2的表格，我们有理由相信，它们的乘积也应该是类似的形式，也是一个2x2的表格。
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ a b ┃
┃ 3 1 ┃ x ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
但是，那答案到底是什么？我们该怎么求出abcd这四个未知数？更重要的是，ixii的意
义是什么呢？
海森堡说，ixii，表示你先乘搭巴士i号线，然后转乘了ii号线。答案中的a是什么呢？a
处在第一行第一列，它也必定表示从a地出发到a地下车的某种收费情况。海森堡说，a，
其实就是说，你搭乘i号线从a地出发，期间转乘ii号线，最后又回到a地下车。因为是乘
法，所以它表示“i号线收费”和“ii号线收费”的乘积。但是，情况还不是那么简单，
因为我们的路线可能不止有一种，a实际代表的是所有收费情况的“总和”。
如果这不好理解，那么我们干脆把题目做出来。答案中的a，正如我们已经说明了的，表
示我搭i号线从a地出发，然后转乘ii号线，又回到a地下车的收费情况的总和。那么，我
们如何具体地做到这一点呢？有两种方法：第一种，我们可以乘搭i号线从a地到b地，然
后在b地转乘ii号线，再从b地回到a地。此外，还有一种办法，就是我们在a地上了i号线
，随即在原地下车。然后还是在a地再上ii号线，同样在原地下车。这虽然听起来很不明
智，但无疑也是一种途径。那么，我们答案中的a，其实就是这两种方法的收费情况的总
和。
现在我们看看具体数字应该是多少：第一种方法，我们先乘i号线从a地到b地，车费应该
是多少呢？我们还记得海森堡的车费规则，那就看矩阵i横坐标为a纵坐标为b的那个数字
，也就是第一行第二列的那个2，2块钱。好，随后我们又从b地转乘ii号线回到了a地，这
里的车费对应于矩阵ii第二行第一列的那个4。所以第一种方法的“收费乘积”是2x4＝8
。但是，我们提到，还有另一种可能，就是我们在a地原地不动地上了i号线再下来，又上
ii号线再下来，这同样符合我们a地出发a地结束的条件。这对应于两个矩阵第一行第一列
的两个数字的乘积，1x1＝1。那么，我们的最终答案，a，就等于这两种可能的叠加，也
就是说，a＝2x4＋1x1＝9。因为没有第三种可能性了。
同样道理我们来求b。b代表先乘i号线然后转乘ii号线，从a地出发最终抵达b地的收费情
况总和。这同样有两种办法可以做到：先在a地上i号线随即下车，然后从a地坐ii号线去b
地。收费分别是1块（矩阵i第一行第一列）和3块（矩阵ii第一行第二列），所以1x3＝3
。还有一种办法就是先乘i号线从a地到b地，收费2块（矩阵i第一行第二列），然后在b地
转ii号线原地上下，收费1块（矩阵ii第二行第二列），所以2x1＝1。所以最终答案：b
＝1x3＋2x1＝5。
大家可以先别偷看答案，自己试着求c和d。最后应该是这样的：c＝3x1＋1x4＝7，d＝3
x3＋1x1＝10。所以：
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 2 ┃ ┃ 1 3 ┃ ┃ 9 5┃
┃ 3 1 ┃ x ┃ 4 1 ┃ ＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
很抱歉让大家如此痛苦不堪，不过我们的确在学习新的事物。如果你觉得这种乘法十分陌
生的话，那么我们很快就要给你更大的惊奇，但首先我们还是要熟悉这种新的运算规则才
是。圣人说，温故而知新，我们不必为了自己新学到的东西而沾沾自喜，还是巩固巩固我
们的基础吧，让我们把上面这道题目验算一遍。哦，不要昏倒，不要昏倒，其实没有那么
乏味，我们可以把乘法的次序倒一倒，现在验算一遍iixi：
┏ ┓ ┏ ┓ ┏ ┓
┃ 1 3 ┃ ┃ 1 2 ┃ ┃ a b ┃
┃ 4 1 ┃ x ┃ 3 1 ┃ ＝ ┃ c d ┃
┗ ┛ ┗ ┛ ┗ ┛
我知道大家都在唉声叹气，不过我还是坚持，复习功课是有益无害的。我们来看看a是什
么，现在我们是先乘搭ii号线，然后转i号线了，所以我们可以从a地上ii号线，然后下来
。再上i号线，然后又下来。对应的是1x1。另外，我们可以坐ii号线去b地，在b地转i号
线回到a地，所以是3x3＝9。所以a＝1x1＋3x3＝10。
喂，打瞌睡的各位，快醒醒，我们遇到问题了。在我们的验算里，a＝10，不过我还记得
，刚才我们的答案说a＝9。各位把笔记本往回翻几页，看看我有没有记错？嗯，虽然大家
都没有记笔记，但我还是没有记错，刚才我们的a＝2x4＋1x1＝9。看来是我算错了，我
们再算一遍，这次可要打起精神了：a代表a地上车a地下车。所以可能的情况是：我搭ii
号线在a地上车a地下车（矩阵ii第一行第一列），1块。然后转i号线同样在a地上车a地下
车（矩阵i第一行第一列），也是1块。1x1＝1。还有一种可能是，我搭ii号线在a地上车
b地下车（矩阵ii第一行第二列），3块。然后在b地转i号线从b地回到a地（矩阵ii第二行
第一列），3块。3x3＝9。所以a＝1＋9＝10。
嗯，奇怪，没错啊。那么难道前面算错了？我们再算一遍，好像也没错，前面a＝1＋8＝9
。那么，那么……谁错了？哈哈，海森堡错了，他这次可丢脸了，他发明了一种什么样的
表格乘法啊，居然导致如此荒唐的结果：ixii ≠ iixi。
我们不妨把结果整个算出来：
┏ ┓
┃ 9 5┃
ixii＝ ┃ 7 10┃
┗ ┛
┏ ┓
┃ 10 5┃
iixi＝ ┃ 7 9┃
┗ ┛
的确，ixii ≠ iixi。这可真让人惋惜，原来我们还以为这种表格式的运算至少有点创
意的，现在看来浪费了大家不少时间，只好说声抱歉。但是，慢着，海森堡还有话要说，
先别为我们死去的脑细胞默哀，它们的死也许不是完全没有意义的。
大家冷静点，大家冷静点，海森堡摇晃着他那漂亮的头发说，我们必须学会面对现实。我
们已经说过了，物理学，必须从唯一可以被实践的数据出发，而不是靠想象和常识习惯。
我们要学会依赖于数学，而不是日常语言，因为只有数学才具有唯一的意义，才能告诉我
们唯一的真实。我们必须认识到这一点：数学怎么说，我们就得接受什么。如果数学说i
xii ≠ iixi，那么我们就得这么认为，哪怕世人用再嘲讽的口气来讥笑我们，我们也
不能改变这一立场。何况，如果仔细审查这里面的意义，也并没有太大的荒谬：先搭乘i
号线，再转ii号线，这和先搭乘ii号线，再转i号线，导致的结果可能是不同的，有什么
问题吗？
好吧，有人讽刺地说，那么牛顿第二定律究竟是f＝ma，还是f＝am呢？
海森堡冷冷地说，牛顿力学是经典体系，我们讨论的是量子体系。永远不要对量子世界的
任何奇特性质过分大惊小怪，那会让你发疯的。量子的规则，并不一定要受到乘法交换率
的束缚。
他无法做更多的口舌之争了，1925年夏天，他被一场热病所感染，不得不离开哥廷根，到
北海的一个小岛赫尔格兰（helgoland）去休养。
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